Всего: 90 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Тогда 
то есть 
В прямоугольном треугольнике АВС отмечены: точка К — середина гипотенузы АВ и на катете ВС точка М такая, что 
Пусть отрезки АМ и СК пересекаются в точке Р. Докажите, что прямая КМ касается описанной окружности треугольника АКР.
и двум парам равных соответствующих сторон 
и 
Следовательно, 
Значит, угол между хордой КР и прямой КМ, равный углу МКС, равен вписанному углу КАР, опирающемуся на хорду КР, поэтому КМ — касательная к описанной окружности треугольника АКР в точке К.
.
.В треугольнике АВС отрезки АК, ВL и СМ — высоты, Н — их точка пересечения, S — точка пересечения МК и ВL, Р — середина отрезка АН, Т — точка пересечения прямой LР и стороны АВ. Доказать, что прямая SТ перпендикулярна стороне ВС.
Отсюда 
и 
равны друг другу (так как оба равны удвоенной площади треугольника, умноженной на 
и, следовательно, сокращаются. Остается доказать, что
и 
Равенство доказано.
Докажите, что величины углов РВС и АМР равны.
мы получаем 
откуда 
откуда 
а) Решите уравнение 
б) Числа 
выбираются случайным образом. Найдите вероятность того, что многочлен 
имеет действительные корни.
в) Докажите, что если не существует треугольника с длинами сторон a, b, c, то нет и треугольника со сторонами
г) Докажите, что треугольник ABC является прямоугольным тогда и только тогда, когда 
Относительно новой переменной имеем уравнение 
и только они, 
По определению геометрической вероятности, искомая вероятность равна отношению площади множества точек единичного квадрата, координаты которых удовлетворяют неравенству, т. е. площади подграфика функции 
к площади самого этого квадрата. Таким образом, эта вероятность равна интегралу 
тогда 
откуда и следует, что один из углов треугольника — прямой.а) Решите уравнение 
б) Числа 
выбираются случайным образом. Найдите вероятность того, что многочлен 
имеет действительные корни.
в) Докажите, что если a, b, c — длины сторон некоторого треугольника, то из отрезков длиной 
также можно составить треугольник.
г) Дан треугольник ABC. Докажите, что если 
то он либо равнобедренный, либо прямоугольный.
тогда 
и уравнение примет вид
(поскольку вероятность события 
равна нулю). Тогда необходимо и достаточно выполнения условия 
то есть 
Рассмотрим на координатной плоскость с координатами 
график функции 
и вычислим площадь заштрихованной части (см рисунок)
Проверим для самой большой из сторон 
неравенство треугольника 
что очевидно — раскрывая скобки в правой части по формуле бинома Ньютона, получим 
где все не выписанные слагаемые положительны.
получим
Более того, если 
то 
а 
и равенство невозможно. Итак, 
Аналогично 
где 
и треугольник является равнобедренным; либо 
где 
В прямоугольный треугольник ABC 
вписана окружность Γ с центром I, которая касается сторон AB и BC в точках K и L соответственно. Прямая, проходящая через точку I, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите радиус окружности Γ, если 
Найдите AC, если дополнительно известно, что прямая MN параллельна AC.
откуда 
Тогда 
В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность Γ с центром I, которая касается сторон AB и BC в точках K и L соответственно. Прямая, проходящая через точку I, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите радиус окружности Γ, если 
Найдите AC, если дополнительно известно, что прямая MN параллельна AC.
откуда 
проведённая из B, равна 
и 
В прямоугольнике ABCD на продолжении стороны CD за точку D отмечена точка E. Биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке K, а биссектриса угла ADE пересекает продолжение стороны AB в точке M. Найдите BC, если MK = 8 и AB = 3.
Аналогично получаем, что 
Значит, треугольники AKM и ABD равны по двум катетам. Применяя в треугольнике AKM теорему Пифагора, находим 
В прямоугольнике ABCD на продолжении стороны CD за точку D отмечена точка E. Биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке K, а биссектриса угла ADE пересекает продолжение стороны AB в точке M. Найдите BC, если MK = 9 и AB = 4.
с центром в точке I вписана в треугольник ABC и касается его сторон AB и AC в точках D и E соответственно. Биссектрисы треугольника ADE пересекаются в точке J. Отрезки BJ и CJ пересекают отрезок DE в точках P и Q соответственно.
через 
и 
Тогда, 
Нормальное решение говорит, что биссектрисы углов ADE и AED пересекают окружность ω в середине дуги DE. То есть J лежит на 
(кстати, подсчет углов тоже дает, что, например, треугольник IDJ равнобедренный). В условиях этого пункта треугольник IDE правильный, отсюда 
(последнее неравенство следует из того, что 
—
I — точка пересечения биссектрис AM и BK, S — середина KM, вписанная в треугольник окружность касается гипотенузы в точке H. Тогда точки S, I и H лежат на одной прямой. 
по гипотенузе и острому углу, следовательно, 
то есть KB — биссектриса внешнего угла 
а AI — биссектриса его внутреннего угла. Значит, I — центр вневписанной окружности 
—
Пусть R — середина гипотенузы AB. Тогда PS и RQ являются средними линиями в треугольниках 
и 
поэтому PS, AK и QR — параллельны между собой, также 
значит, PSQR — параллелограмм. Более того, 
так как его стороны сонаправлены сторонам угла 
Значит, PSQR — прямоугольник. Обозначим через 
окружность, описанную около прямоугольника PSQR. Из леммы следует, что 
Поскольку 
точка H лежит на окружности 
Следовательно, 
(как вписанные углы, опирающиеся н а диаметр PQ).
Точки M и N середины сторон AB и BC соответственно. Найдите угол DNM.
Поэтому треугольник BMD равнобедренный и 
Стало быть, 
и, значит, четырехугольник MLND — вписанный. Тогда 
так как они опираются на одну дугу. Осталось заметить, что поскольку ML — средняя линия в прямоугольном треугольнике ABD, прямая ML параллельна прямой AD и, значит, 